Предмет и методы экономической теории

Хозяйственные отношения пронизывают все сферы жизни человека. Изучение их закономерностей занимало умы философов еще в древности. Постепенное развитие сельского хозяйства, появление частной собственности способствовали усложнению экономических отношений и построению первых хозяйственных систем. Научно – технический прогресс, определивший переход от ручного труда к машинному, дал сильный толчок для укрупнения производства, а значит, для расширения экономических связей и структур. В современном мире экономика все чаще рассматривается в совокупности с другими смежными общественными науками. Именно, на стыке двух направлений находятся различные решения, которые можно применить на практике.

Само фундаментальное направление к экономике сложилось лишь к середине девятнадцатого века, хотя ученые многих стран на протяжении столетий создавали специальные школы, изучавшие закономерности хозяйственной жизни людей. Только в это время помимо качественной оценки происходящего, ученые стали исследовать и сопоставлять фактические события в экономике. Развитие классической экономики способствовало формированию прикладных дисциплин, которые изучают более узкие области систем хозяйствования.

Основным предметом изучения экономической теории является поиск оптимальных решений для экономик различных уровней организации в части удовлетворения возрастающего спроса при условии ограниченности ресурсов. Экономисты используют различные методы в своих исследованиях. Среди них, наиболее часто, применяются следующие:

1. Методы, позволяющие оценивать элементы общего, либо обобщать отдельные структуры. Их называют методами анализа и синтеза.
2. Индукция и дедукция дают возможность рассматривать динамику процессов от частного к общему и наоборот.
3. Системный подход помогает увидеть отдельный элемент экономики, как структуру, и проанализировать ее.
4. На практике широко используется метод абстракции. Он позволяет отделить изучаемый объект или явление от его взаимосвязей и внешних факторов.
5. Как и в других науках, в экономике достаточно часто используется язык математики, помогающий наглядно отобразить исследуемые элементы экономики, а также провести анализ или сформировать необходимый прогноз тенденций.

Сущность математической экономики

Современную экономику отличает сложность изучаемых ею систем. Как правило, один экономический агент вступает сразу во множество отношений, причем ежедневно. Если речь идет о предприятии, то количество его внутренних и внешних взаимодействий увеличивается в тысячи раз. Для облегчения исследовательских и аналитических задач, встающих перед экономистами и учеными, используется язык математики. Развитость математического инструментария позволяет решать такие проблемы, которые не под силу другим методам, применяемым в экономической теории.

Математическая экономика является прикладным направлением экономической теории. Ее основная сущность заключается в применении математических методов, средств и инструментов для описания, изучения и анализа хозяйственных систем. Однако, данная дисциплина обладает своей спецификой. Она не изучает экономические явления как таковые, а занимается расчетами, связанными с математическими моделями.

Замечание 1

Целью математической экономики, как и большинства прикладных направлений, можно назвать формирование объективной информации и поиск решений для практических задач. Она изучает, прежде всего, количественные, качественные показатели, а также поведение экономических агентов в динамике.

Задачи, стоящие перед математической экономикой, заключаются в следующем:

• Построение математических моделей, описывающих процессы и явления в экономических системах.
• Исследование поведения различных субъектов хозяйственных отношений.
• Осуществление помощи в построении и оценке планов, прогнозов, различного рода событий в динамике.
• Проведение анализа математических и статистических величин.

Прикладная математика в экономике

Математическая экономика по своему социальному значению находится достаточно близко к математике. Если рассматривать данную дисциплину со стороны математической науки, то для нее она и является прикладным направлением. Прикладная математика дает возможность рассматривать и анализировать отдельные элементы сложнейших экономических систем, так как она обладает широким функционалом, опирающимся на фундаментальное математическое знание. Такие возможности математики способствовали появлению математической экологии, социологии, лингвистики, финансовой математики.

Рассмотрим наиболее важные математические методы, используемые в рамках изучения хозяйственных систем:

1. Операционное исследование занимается изучением процессов и явлений в системах. Сюда относят аналитическую работу и оптимизацию применения на практике полученных результатов.
2. Математическое моделирование включает в себя широкий спектр методов и инструментов, дающих возможность решать стоящие перед учеными и экономистами задачи. Наиболее часто используется теория игр, теория обслуживания, теория расписания и теория запасов.
3. Оптимизация в математике занимается вопросами поиска экстремальных величин, как максимальных, так и минимальных. Для этих целей обычно используются графики функций.

Перечисленные выше методы математики позволяют изучать статистические ситуации в экономике, либо процессы в краткосрочных периодах. Как известно, в настоящее время основная цель экономических субъектов заключается в поиске долгосрочного равновесия. Важным в данных исследованиях является фактор времени, который можно учесть, применяя для расчетов теорию вероятностей, теорию оптимального решения.

Замечание 2

Таким образом, математика и экономика крепко связаны друг с другом. Динамику экономических структур принято облачать в математические модели, которые далее можно разбить на отдельные подзадачи и применить все возможные методы экономического анализа, а также математических расчетов. Принятие решений в экономической сфере является достаточно сложным действием, так как оно связано с несовершенством и неполнотой доступной информации. Использование математического моделирования позволяет снизить рискованность принимаемых управленческих решений.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Математическая дисциплина, предметом к-рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и практич. приложениями. Особенно существенна связь с экономич. наукой и практикой.

М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодпч. исследования, к-рые.нельзя в строгом смысле отнести к математике.

Особенности экономико-математического моделирования. Особенность экономич. моделирования состоит в исключительном разнообразии и разнородности предмета моделирования. В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технич. характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики (напр., цех и народное хозяйство) требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математич. аппарата. Тонким вопросом является отражения типа социально-экономич. системы, к-рая моделируется, учет общественного строя. Нередко оказывается, что абстрактная математич. того или иного экономич. объекта или процесса с успехом применима и к капиталистической, и к социалистической экономике. Все дело в способе использования, интерпретации результатов анализа.

Производство, эффективное производство. Экономика имеет дело с благами, или продуктами, к-рые понимаются в М. э. чрезвычайно широко. Для них применяется общий термин ингредиенты. Ингредиентами являются услуги, природные ресурсы, отрицательно воздействующие на человека факторы окружающей среды, комфортности от имеющейся системы безопасности и т. д. Обычно считается, что ингредиентов конечно и продуктов есть - евклидово пространство, где l - число ингредиентов. Точка z из при надлежащих условиях может рассматриваться как "производственный" способ, положительные компоненты указывают объемы выпуска соответствующих ингредиентов, а отрицательные - затраты. Слово "производственный" взято в кавычки, поскольку производство понимается в самом широком смысле. Множество наличных (заданных, существующих) производственных возможностей есть Способ производства эффективен, если не существует такой, что и хотя бы для одной компоненты выполняется строгое . Задача выявления эффективных способов - одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z - выпуклый . С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z - выпуклый замкнутый .

Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача произведственного планирования. Задано производственных способов и вектор потребностей и ресурсных ограничений Требуется найти способ такой, что для всех Если Z - выпуклый замкнутый конус, то это есть общая задача выпуклого программирования. Если Zзадан конечным числом образующих (так наз. базисных способов), то это общая задача линейного программирования. Решение лежит на границе Z. Пусть p - коэффициенты опорной гиперплоскости для Z в точке т. е. для всех и Основная выпуклого программирования находит условия, при к-рых p l >0. Напр., достаточно условия: существует вектор (так наз. условие Слейтера). Коэффициенты я, характеризующие эффективный способ имеют важный экономич. смысл. Они интерпретируются как цены, соизмеряющие эффективность затрат и выпуска отдельных ингредиентов. Способ эффективен тогда и только тогда, когда стоимость выпуска, равна стоимости затрат. Данная эффективных способов производства и их характеризации с помощью p оказала революционизирующее влияние на теорию и практику планирования социалистич. экономики. Она легла в основу объективных количественных методов определения цен и общественных оценок ресурсов, дающих возможность выбора наиболее эффективных экономич. решений в условиях социалистич. хозяйства. Теория естественным образом обобщается на бесконечное число ингредиентов. Тогда пространство ингредиентов оказывается подходящим образом выбранным функциональным пространством.

Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z , b} , где X - пространство ингредиентов, Z - множество производственных возможностей, b - задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.

Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) Здесь - (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной времени, где х k - количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной из состояния х. Будем называть

графиком отображения а. Точки ( х, у ).- допустимые производственные процессы.

Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики. В частности, потребление населения учитывается либо в самом отображении я, либо выделяется в явном виде. Напр., во втором случае допустимой траекторией является такая, что

Для всех t. Изучаются различные понятия эффективности траекторий. Траектория эффективна по потреблению, если не существует другой допустимой траектории (X, С ), выходящей из того же начального состояния, для к-рой Траектория внутренне эффективна, если не существует другой допустимой траектории (X, С), выходящей из того же начального состояния, момента времени t 0 и числа l>1, что

Оптимальность траектории обычно определяется в зависимости от функции полезности и коэффициента приведения полезности во времени (о функции полезности см. ниже). Траектория наз. (и, m)-о птпмальной, если

для любой допустимой траектории (X, С ), выходящей из того же начального состояния. Имеется довольно общих теорем существования для соответствующих траекторий.

Эффективные в различных смыслах траектории характеризуются последовательностью цен точно так же, как эффективный способ характеризовался ценами (коэффициентами опорной гиперплоскости) п. Т. е. если для эффективного способа стоимость затрат равна стоимости выпуска в оптимальных ценах, то на эффективной траектории стоимость состояний постоянна и максимальна, а на всех других допустимых траекториях не может возрастать.

Все приведенные определения легко обобщаются на случай, когда производственное а, функция ии m зависят от времени. Само время может быть непрерывным или вообще параметр tможет пробегать множество довольно произвольного вида.

С экономич. точки зрения интерес представляют траектории, на к-рых достигается максимально возможный темп роста экономики, к-рый она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а и и такие траектории являются стационарными, т. е. имеют

где а - темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.

При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная , независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.

Модель экономич. динамики, у к-рой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин "замкнутый" используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), к-рый задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, Аи Впорядка Процесс тогда и только тогда, когда найдутся векторы v, такие, что выполнены неравенства:

Модель межотраслевого баланса получила большое распространение из-за удобства получения исходной информации для ее построения.

Модели экономич. динамики рассматриваются также в непрерывном времени. Одними из первых стали изучать как раз модели с непрерывным временем. В частности, ряд работ был посвящен простейшей однопродуктовой модели, задаваемой уравнением

где х - объем фондов, приходящихся на единицу трудовых ресурсов, с - потребление на душу населения, f - производственная функция (возрастающая, вогнутая). Неотрицательные функции удовлетворяющие этому уравнению, характеризуют допустимую траекторию. Для заданной функции полезности ии коэффициента дисконтирования mопределяется . Оптимальные траектории (и только они) удовлетворяют аналогу уравнения Эйлера

где - максимальное число, удовлетворяющее условию f(x) -с=х.

Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений

где X - потоки продуктов, Аи В - матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С - потоки конечного потребления.

Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах. Рассматриваются также модели, допустимые траектории в к-рых задаются дифференциальными включениями вида (х), где а - производственное отображение.

Рациональное поведение потребителей. Вкусы и цели потребителей, к-рые определяют их рациональное поведение, даются в виде нек-рой системы предпочтений в пространстве продуктов. А именно, для каждого потребителя iопределено точечно-множественное отображение где Z - нек-рое пространство ситуаций, в к-рых может оказаться потребитель в процессе выбора, X - множество векторов, доступных потребителю, В частности, Zможет включать в себя в качестве подпространства Содержательно множество состоит из всех векторов к-рые (строго) предпочитаются вектору хв ситуации z. Напр., отображение Р i может быть задано в виде функции полезности и, где и(х).показывает полезность от потребления набора продуктов х. Тогда

Пусть в описание ситуации z входят цены p. на все продукты и денежный доход потребителя d. Тогда есть множество наборов, к-рые потребитель может приобрести в ситуации z. Это множество наз. бюджетным. Рациональность поведения потребителя заключается в том, что он выбирает такие наборы хиз B i (z), для к-рых Пусть D(z) - множество наборов продуктов, выбираемых истребителем г в ситуации z; D i наз. отображен и-е м (или функцией в случае, когда D i (z) состоит из одной точки) спроса. Имеется ряд исследований, посвященных выяснению свойств отображений Р i , В i , D i . В частности, довольно подробно изучен случай, когда отображения Р i могут быть заданы в виде функций. Определены условия, при к-рых отображения В i и D i являются непрерывными. Особый интерес представляет изучение свойств функции спроса D i . Дело в том, что иногда удобнее считать в качестве первичных именно функции спроса D i , а не предпочтения P i , поскольку их легче построить по имеющейся информации о поведении потребителей. Напр., в экономике (торговая ) могут наблюдаться величины, приближенно оценивающие частные производные

где Яр - цена на продукт р, d - доход.

К теории рационального поведения потребителей примыкает теория группового выбора, имеющая дело, как правило, с дискретными вариантами. Обычно предполагается, что имеется конечное число участников группы и конечное число, напр., альтернативных вариантов. Задача состоит в выборе группового решения о выборе одного из вариантов при заданных отношениях предпочтения между вариантами для каждого участника. Групповой выбор обеспечивает различные схемы голосования, рассматриваются также аксиоматический и теоретико-игровой подходы.

Согласование интересов. Носителями интересов являются отдельные части экономич. системы, а также общество в целом. В качестве таких частей выступают потребители (группы потребителей): предприятия, министерства, территориальные органы управления, плановые и финансовые органы и т. п. Различают два взаимно переплетающихся подхода к проблеме согласования интересов - аналитический, или конструктивный, и синтетический, или дескриптивный. Согласно первому подходу в качестве исходного принимается глобальный критерий оптимальности (формализация интересов всего общества в целом). Задача состоит в том, чтобы вывести локальные (частные) критерии из общего, учитывая при этом частные интересы. При втором подходе исходными являются как раз частные интересы и задача заключается в объединении их в единую непротиворечивую систему, функционирование к-рой приводит к результатам, удовлетворительным с точки зрения всего общества в целом.

К первому подходу впрямую относятся декомпозиционные методы математич. программирования. Пусть, напр., в экономике имеется тпроизводителен и каждый производитель j задается множеством производственных возможностей Y j , где и является выпуклым компактом. Задана Vвсего общества в целом, где - вогнутая функция. Экономика должна быть организована таким образом, чтобы решалась задача выпуклого программирования: найти из условий

По теореме о характеристике эффективных способов производства существуют цены такие, что

для всех j,

Величина y (j) pинтерпретируется как прибыль j-го производителя при ценах р. Отсюда следует, что критерий максимизации прибыли у каждого из производителей не противоречит общей цели, если действующие цены определены соответствующим образом. Схемы, относящиеся ко второму подходу, получили большое развитие в рамках моделей экономич. равновесия.

Экономическое равновесие. Предполагается, что экономика состоит из отдельных частей, являющихся носителями собственных интересов: производителей, занумерованных индексами j = 1, ..., т, и потребителей, занумерованных индексами i=1, ..., п. Производитель j описывается множеством производственных возможностей и отображением задающим его систему предпочтений. Здесь Z - множество возможных состояний экономики, конкретизируемое ниже. Потребитель г описывается множеством возможных наборов продуктов, доступных для потребления, начальным запасом продуктов предпочтением и, наконец, функцией распределения доходов, где a i (z) показывает количество денег, поступающих потребителю i в состоянии z. Множество возможных цен в экономике есть Q. Тогда множество возможных состояний есть Бюджетное отображение B i определяется здесь так:

Состояние равновесия описанной экономики есть удовлетворяющее условиям

По существу состояние равновесия экономики совпадает с определением решения бескоалиционной игры многих лиц в смысле Неймана - Нэша с дополнительным условием, чтобы выполнялся баланс по всем продуктам. Существование состояния равновесия доказано при весьма общих условиях для исходной экономики. Гораздо более жесткие условия необходимо накладывать для того, чтобы состояние равновесия было оптимальным, т. е. доставляло нек-рой глобальной оптимизационной задаче с целевой функцией, зависящей от интересов потребителей. Напр., пусть Р i задано вогнутой непрерывной функцией a F j задано функцией

где Y j , Х i - выпуклые компакты,

Любое подмножество S={i 1 , ..., i r } индексов потребителей образует подэкономику исходной экономики, в к-рой каждому потребителю i s из S соответствует (один и только один) производитель, множество производственных возможностей к-рого есть

Функции распределения доходов при этом имеют вид

Состояние наз. сбалансированным, если

Говорят, что сбалансированное состояние z исходной экономики блокируется коалицией потребителей S, если в подэкономике, определяемой коалицией S, существует такое сбалансированное состояние что для s= 1, ..., r и хотя бы для одного индекса имеет место строгое неравенство. Ядром экономики наз. множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются никакой коалицией потребителей. Для экономики с описанными свойствами имеет место теорема: всякое состояние равновесия принадлежит ядру. Обратное неверно, однако найден ряд достаточных условий, при к-рых множество состояний равновесия и близки друг к другу или вообще совпадают. В частности, если число потребителей стремится к бесконечности и влияние каждого потребителя на состояние экономики становится все более малым, то множество состояний равновесия стремится к ядру. Совпадение ядра и множества состояний равновесия имеет место в экономике с бесконечным (континуальным) числом потребителей (теорема Аумана).

Пусть экономика является моделью рынка (т. е. отсутствуют производители), множество участников (потребителей) к-рой является замкнутым единичным отрезком , обозначаемым далее Т. Состояние экономики есть z= (x, p ), где хесть функция, отображающая Тв R + l , каждая компонента к-рой интегрируема по Лебегу на отрезке Т. Начальное продуктов между участниками задано функцией w, . таким образом сбалансированное состояние z таково, что Коалиция участников - это измеримое по Лебегу подмножество множества Т. Если подмножество имеет меру 0, то соответствующая наз. нулевой. Ядро - это множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются ни одной ненулевой коалицией. Состояние является равновесием, если для почти каждого участника i

Теорема Аумана утверждает, что в описанной экономике и множество состояний равновесия совпадают. Интерес представляет вопрос о структуре множества состояний равновесия, в частности когда это множество конечно или состоит из одной точки. Здесь имеет место теорема Дебре. Пусть множество моделей рынка где суть начальные запасы продуктов у участника i, вектор является параметром, определяющим конкретную модель из множества Отображение представляет собой функцию спроса для i-гo участника. Функции D 1 , ..., D n заданы (не меняются) для всего множества экономик W. Пусть W 0 , -совокупность экономик, у к-рых множество состояний равновесия бесконечно. Теорема Дебре утверждает, что если функции D 1 , ... , D n непрерывно дифференцируемы и отсутствуют точки насыщения хотя бы для одного из участников, то W 0 имеет (лебегову) меру в пространстве W.

О численных методах. М. э. имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное , линейные экономич. модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.

Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономич. равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений

где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:

Функция избыточного спроса Fзадается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия. С. Смейлом изучена существенно более общая динамич. система, чем (*), применительно к модели рынка; наряду с изменением во времени цен р рассмотрено изменение состояния х;при этом допустимая траектория удовлетворяет нек-рым дифференциальным включениям вида где К(р).и С(р) - множества возможных направлений изменения ри х, определенные через модель рынка.

Экономич. равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, к-рый является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.

Смежные вопросы. М. э. тесно связана со многими математич. дисциплинами. Иногда трудно определить, где границы между М. э. и математич. статистикой или выпуклым анализом, функциональным анализом, топологией и т. д. Можно указать, напр., на развитие теории положительных матриц, положительных линейных (и однородных) операторов, спектральных свойств суперлинейных точечно-множественных отображений под влиянием потребностей М. э.

Лит. :Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; К а н т о р о в и ч Л. В., Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., 1959; Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая экономика, пер. с англ., М., 1972; М а к а р о в В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической динамики и равновесия, М., 1973; М и р к и н Б. Г., Проблема группового выбора [информации], М., 1974; Scarf H., The Computation of Economic Equilibria, L., 1973; Данциг Д ж., Линейное программирование, его применения и обобщения, пер. с англ., М., 1966; Smale S., "J. math. Economics", 1976, №2, p. 107-20. Л. В. Канторович, В. Л. Макаров.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

• Экономический словарь
• 
  

Цели и задачи изучения темы

Введение в математическую экономику

1. Предмет и задачи математической экономики

2. Математическое моделирование экономических систем

3. Примеры экономических задач оптимизации и управления

4. Общая схема принятия решений. Виды и параметры экономических задач оптимизации и управления

5. Оптимальное поведение и его формализация в экономико-математических моделях

Математическая экономика (эконометрика, экономико-математическое моделирование) - сфера научной и практической деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений.

Математическая экономика – дисциплина, которая занимается изучением экономики, экономических процессов и их моделей.

Предмет математической экономики – это математические модели реальных экономических объектов.

Метод математической экономики – системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель – объект, который замещает оригинал и отражает важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема – окружающая систему среда, в которой эта система функционирует.

Подсистема – подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы.

Основная цель экономики – это обеспечение общества предметами потребления. Экономика состоит из хозяйственных единиц: предприятия, фирмы, банки и т.д. Надсистемой национальной экономики является природа, общество и мировая экономика. Подсистема состоит из следующих частей: производственная сфера и финансово-кредитная.

Особенности экономики как объекта моделирования состоят в следующем:

· модели в экономике не соответствуют техническим моделям, когда можно построить материальный объект и отработать все функции поведения, копию экономического процесса построить нельзя;

· в экономике ограничены возможности локальных экономических экспериментов, так как все ее части жестко взаимосвязаны между собой, поэтому чистый эксперимент не возможен. То есть гипотезы развития экономических явлений основываются на аналогичных явлениях, которые происходили ранее, и на математическом моделировании. Например, модель Кейса выхода экономики из кризиса 1929-1939 гг. была применена в Германии и Японии и получила название «экономического чуда».

Чтобы выработать правильное экономическое решение, необходимо учесть прошлый опыт и результаты построения экономических моделей в аналогичных ситуациях.

· при выполнении основной функции экономическая система осуществляет следующие действия:

Размещает ресурсы;

Производит продукцию;

Распределяет предметы потребления;

Осуществляет накопление.

Рассмотрим схему функционирования экономики:

В процессе производства создается ВВП, который распределяется между всеми ячейками экономики или общества.

Процесс производства предполагает наличие в нем средств и предметов труда. Средства труда участвуют в нескольких производственных циклах, вплоть до полного износа морального или физического, или их замены. Предметы труда участвуют в одном производственном цикле. В некотором случае земля является средством производства, если земля не освоена, то она является природным ресурсом или предметом труда.

Процесс накопления сопровождается созданием накопленных средств производства, которые подразделяют на основные (средства труда) и оборотные (предметы труда).

Основные производственные фонды в течение длительного времени обслуживают свою форму и в меру изнашивания учитываются в образовании стоимости производимого в данном году продукта.

Просто воспроизводство осуществляется за счет амортизационных отчислений. Расширенное – за счет капитальных вложений и частично за счет амортизационного фонда.

Оборотные фонды – предметы труда, находящиеся в процессе производства. Состоят из производственных запасов и предметов труда, которые входят в незавершенную продукцию.

В результате функционирования экономики за год все отрасли материального производства создают ВВП. В натурально-вещественной форме ВВП распадается на средства труда и предметы потребления. В стоимостной форме – на фонд возмещения выбывших основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный продукт).

В процессе создания ВВП производственная подсистема производит и вновь потребляет промежуточный продукт (предметы труда, которые используются для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП).

Валовой выпуск применяется в качестве вспомогательного показателя, который содержит в себе стоимость ВВП и промежуточного продукта, при этом стоимость предметов труда учитывается дважды в промежуточном продукте и ВВП.

Основная цель экономики - обеспечение общества предметами потребления. В экономике действуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их формализованное математическое описание.

Объект изучения учебной дисциплины - экономика и ее подразделения.

Предмет - математические модели экономических объектов.

Метод - системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической .

ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Система - это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема - окружающая систему среда, в которой функционирует система.

Подсистема - подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы (подсистема может осуществлять часть целей системы).

Экономическая система: размешает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление.

Надсистема национальной экономики - природа, мировая экономика и общество.

Главные подсистемы экономики - производственная и финансово-кредитная.

ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ

В экономике невозможны модели подобные техническим, т.к. нельзя построить точную копию, экономики и на этой копии отрабатывать варианты экономической политики.

В экономике ограничены возможности экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом.

Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны.

Положительная сторона - сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики.

Отрицательная сторона - невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений,.

Таким образом, для выработки правильных экономических решений необходим учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных в расчетах по математическим моделям, адекватным данной экономической ситуации.

Разработка математических моделей трудоемка, но весьма перспективна. Так, модель Кейнса, отражающая возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, была построена под впечатлением кризиса 1929-1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма успешным и получило название «экономического чуда».

РАССМОТРИМ СТРУКТУРУ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Экономика - сложная система, состоящая из производственных и непроизводственных (финансовых) ячеек (хозяйственных единиц), находящихся в производственно - технологических и (или) организационно-хозяйственных связях друг с другом.

По отношению к экономической системе каждый член общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой - как работник.

Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства

Все отрасли материального производства создают валовой внутренний продукт (ВВП).

В натурально-вещественной форме ВВП – это средства труда и предметы потребления,

В стоимостной форме - фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).

В процессе создания ВВП производится и вновь потребляется промежуточный продукт.

По материально-вещественному составу промежуточный продукт - это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ ПОЗВОЛЯЕТ:

1. выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов;

2. получить новые знание об объекте;

3. оценить вид зависимостей факторов и параметры переменных, сделать выводы.

ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?

Это упрощенное формальное описание экономических явлений.

Математическая модель экономического объекта это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков.

Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на этой основе предсказать поведение объекта в будущем при изменении параметров.

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ:

1. формулируются предмет и цели исследования;

2. в экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели;

3. выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;

4. словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами;

5. вводятся символические обозначения для характеристик экономического объекта и формулируются взаимосвязи между ними;

6. проводятся расчеты по модели и анализируются полученные результаты;

СТРУКТУРА МОДЕЛИ:

Для построения модели нужно определить экзогенные и эндогенные переменные и параметры.

Экзогенные переменные – задаются вне модели, т.е. известны к моменту расчетов.

Эндогенные переменные – определяются в ходе расчетов по модели.

Параметры – коэффициенты уравнений.

КЛАССЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Экономико-математические модели делятся на следующие классы:

1. По уровню обобщения

a. Макроэкономические – описывают экономику как единое целое, связывают укрупненные показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость. Макромодели отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем. В макромоделях хозяйственные ячейки считаются неделимыми.

b. Микроэкономические – описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики. Микромодели - функционирование хозяйственных единиц и их объединений. В микромоделях хозяйственная единица может рассматриваться как сложная система.

2. По уровню абстракции

a. Теоретические – позволяют изучить общие свойства экономики путем вывода из формальных предпосылок. Используются для изучения общих свойств экономики и ее элементов (модели спроса и предложения)

b. Прикладные – дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и выработать рекомендации по принятию решений. Используются для оценки параметров конкретных экономических объектов. Сюда относятся эконометрические модели, применяющие методы математической статистики.

3. Модели равновесные и роста

a. Равновесные – дескриптивные (описательные) модели. Они описывают такое сотояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из этого состояния равна нулю. Пример - модель Леонтьева (затраты-выпуск),

b. Модели роста – предназначены для определения того как должна развиваться экономика при определенных критериях. Пример – Модель Солоу, Самуэльсона-Хикса

4. По учету фактора времени.

a. Статические – описывают состояние объекта в конкретный момент или период времени.

b. Динамические – включают взаимосвязи переменных во времени. Обычно используют аппарат дифференциальных уравнения.

5. По учету фактора случайности.

a. Детерминированные – предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

b. Стохастические – допускают случайные воздействия на показатели и используют теорию вероятностей и математическую статистику.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое экономико-математическое моделирование? Его место в экономическом анализе и прогнозировании.

2. Этапы моделирования. Факторы модели.

3. Классы экономико-математических моделей .

Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.

Пусть спрос и предложение товара зависят от цены . Для равновесия цена на рынке должна быть такой , чтобы товар был распродан и не было его излишков:

. (1)

Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене спрос превышает предложение . И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене . При такой цене предложение возрастает до величины ; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне .

Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену и соответствующее значение спроса и предложения .

Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции в момент времени определяется затратами труда , производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием к затратам труда. Математическая запись этого такова:

. (2)

Конечная продукция распределяется на потребление и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через , то

В экономике называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

. (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста . По формуле сложных процентов получаем:

, , , .

Если ввести величины, характеризующие потребление , объем оборудования и выпуск продукции на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему

, , . (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста и потреблении определит фондовооруженность труда как точку пересечения кривой и прямой на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция , хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда , однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления отвечает семейство кривых . Длина отрезка как следует из формулы (5), равна потреблению . При (точка на рис. 2) потребления совсем нет – вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления . Тогда потребление (длина ) будет уже ненулевым, хотя темп роста экономики (угол наклона прямой ) остается тем же. В точке с ординатой , для которой касательная к кривой параллельна прямой потребление максимально. Ей соответствует кривая семейства с некоторой нормой накопления , называемой «золотой нормой накопления».

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ (1912-1986) Л. В. Канторович – советский математик и экономист, создатель линейного программирования и теории оптимального планирования социалистической экономики, академик, лауреат Нобелевской премии. Л. В. Канторович родился в Петербурге, в семье врача. Его способности проявились необычайно рано. Уже в 4 гола он свободно оперировал многозначными числами, в семилетнем возрасте освоил курс химии по учебнику старшего брата. В 14 лет он стал студентом Петербургского университета. К моменту окончания университета, в 1930 г., Л. В. Канторович уже известный ученый, автор десятка работ, опубликованных в ведущих международных математических журналах, а в 20 лет – профессор математики. В 1935 г. ученый ввел и изучил класс функциональных пространств, в которых для некоторого набора их элементов определено отношение порядка. Теория таких пространств их называют пространствами Канторовича, или -пространствами, является одним из основных разделов функционального анализа. Недавние работы, связанные с решением проблемы континуума, определили место -пространств в ряду наиболее фундаментальных математических структур. Л. В. Канторовича отличала поразительная способность в частной задаче увидеть ядро проблемы и, создав теорию, дать общий метод решения широкого класса подобных задач. Особенно ярко это раскрылось в его работах по вычислительной математике и математической экономике. В начале 30-х гг. Л. В. Канторович одним из первых крупных ученых заинтересовался вычислительной математикой. Современный облик этой науки во многом был определен его трудами. Среди них основополагающая и ставшая классической монография «Приближенные методы высшего анализа»; вычислительные методы, носящие его имя; общая теория приближенных методов, построенная на базе функционального анализа (Государственная премия 1949 г.); работы по автоматическому программированию, выполненные на заре компьютерной эры и предвосхитившие многие современные идеи, наконец, ряд изобретений в области вычислительной техники. В 1939 г. в Ленинграде вышла небольшая брошюра «Математические методы организации и планирования производства», в которой фактически содержался новый раздел прикладной математики, впоследствии названный линейным программированием (см. Геометрия). Поводом к ее написанию послужила конкретная производственная задача. Осознав ключевое значение понятий вариантности и оптимальности в социалистической экономике, таких важнейших показателей, как цена, рента, эффективность, он приступает к разработке теории оптимального планирования, удостоенной впоследствии Ленинской (1965) и Нобелевской (1975) премий. Книга «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», излагающая эту теорию, была написана в условиях ленинградской блокады и закончена уже в 1942 г. Понимая исключительную важность этих исследований, ученый настойчиво добивался практического использования их результатов. Однако работа была опубликована только в 1959 г. и даже тогда подвергалась нападкам ортодоксальных политэкономов. Книга Л. В. Канторовича сформировала взгляды целого поколения советских экономистов. Многие идеи, впервые высказанные там, реализуются в ходе перестройки.

После олимпиады интересно обсудить решения задач.

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно – измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).

Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.