Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что проецируемый объект остается неподвижным, а одна из плоскостей проекций П 1 , П 2 или П 3 заменяется новой, расположенной так, чтобы проецируемый объект по отношению к новой плоскости занял частное положение. При этом каждая новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна незаменяемой плоскости проекций. Кроме того, на новые плоскости проекций объект проецируется ортогонально. Таким образом, при решении задач способом замены плоскостей проекций необходимо выполнять следующие условия:

Каждая новая система должна представлять собой систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей;

На новые плоскости объект проецируется ортогонально;

Расстояние от точки до незаменяемой плоскости сохраняется.

Рис. 128. Замена плоскостей проекций

Чтобы определить натуральную величину отрезка способом замены плоскостей проекций (рис. 128, 129), необходимо выбрать новую плоскость проекций таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекций отрезок занял положение линии уровня:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П 1 /П 2 с помощью оси x 12 ⊥A 1 A 2 .

2. Определить положение плоскости П 4 с помощью оси x 14 . Чтобы отрезок в системе плоскостей П 1 /П 4 занял положение линии уровня, ось x 14 проводится параллельно горизонтальной проекции отрезка .

3. Ортогонально спроецировать отрезок на плоскость П4. Для этого линии связи проводят перпендикулярно оси x 14 , затем от оси x 14 откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z точек A и B.

Рис. 129. Определение натуральной величины отрезка способом замены плоскостей проекций

Чтобы преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, новую плоскость проекций строят перпендикулярно линии уровня этой плоскости.

Рассмотрим преобразование плоскости общего положения α(ABC) во фронтально-проецирующую плоскость (рис. 130). Для решения этой задачи способом замены плоскостей проекций необходимо выполнить замену плоскости П 2 на П 4:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей проекций П 1 /П 2 с помощью оси x 12 ⊥A 1 A 2 ;

2. Построить в плоскости α(ABC) фронталь;

3. В соответствии с теоремой о проекциях прямого угла, построить новую ось x 24 ⊥f 1 (C 2 1 2);

4. Ортогонально спроецировать фронталь на плоскость П 4 . Для этого провести линию связи (12,14) перпендикулярно x 24 и отложить от оси x 24 расстояние до незаменяемой плоскости – координату y точек 1 и С. Поскольку y 1 =y c , фронталь в системе плоскостей проекций П 1 /П 4 займет положение горизонтально-проецирующей прямой.

5. Проекция плоскости α(ABC) на П 4 определится фронталью и точкой A. В системе плоскостей проекций П 2 /П 4 плоскость α(ABC) займет горизонтально-проецирующее положение. Проекцию точки B можно построить по координате y b или на пересечении следа плоскости α(ABC) на П 4 с линией связи (B 2 B 4).

Рис. 130. Преобразование плоскости α(ABC) в проецирующее положение

При решении некоторых задач необходимо определить натуральную величину плоских объектов. Любой плоский объект проецируется без искажения на параллельную ему плоскость. Чтобы определить натуральную величину грани призмы способом замены плоскостей проекций, необходимо (рис. 131):

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П 1 /П 2 с помощью оси x 12 =A 2 D 2 K 2 ;.

2. Плоскость грани ABCD занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому выполняется замена плоскости П 2 на плоскость П 4 , параллельную грани ABCD. Новую ось x 14 проводят параллельно A 1 B 1 C 1 D 1 .

3. Ортогонально спроецировать все вершины призмы на плоскость П4. Для этого проводят линии связи перпендикулярно оси x 14 , затем от оси x 14 откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z вершин призмы. Координаты z вершин нижнего основания A, D и K равны нулю, следовательно, точки, и лежат на оси x 14 . Координаты z вершин верхнего основания равны (A 2 B 2).

4. В системе плоскостей П 1 /П 4 грань ABCD занимает положение фронтальной плоскости уровня, следовательно, проецируется на П 4 в натуральную величину.

Рис. 131. Преобразование грани в положение плоскости уровня

Назначение способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы геометрическую фигуру общего положения расположить в частное положение относительно плоскостей проекций с целью использования свойств ее проекций. Например, преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня позволит определить по соответствующей проекции ее натуральную величину.

Способы преобразования комплексного чертежа разделяют на две группы по признаку, определяющему положение фигуры и плоскостей проекций друг относительно друга или направление проецирования:

1. Изменяют положение плоскостей проекций или направление проецирования так, чтобы неподвижная в пространстве фигура оказалась в частном положении. К этой группе относят:

способ замены плоскостей проекций;

способ дополнительного проецирования.

2. Изменяют положение геометрической фигуры в пространстве так, чтобы она оказалась в частном положении относительно фиксированной системы плоскостей проекций. В эту группу включают:

способ плоскопараллельного перемещения;

способ вращения.

Задачи, решаемые с помощью способов преобразования комплексного чертежа, сводятся к следующим основным задачам, в которых необходимо преобразовать:

прямую (плоскость, цилиндрическую или призматическую поверхности) в проецирующую фигуру;

прямую (плоскую линию или плоскость) в фигуру уровня.

Рассмотрим последовательно все способы преобразования, за исключением способа дополнительного проецирования, с которым рекомендуется ознакомиться самостоятельно по учебнику .

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в замене первоначальной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций при неизменном положении геометрической фигуры в пространстве.

Для решения конкретной задачи выполняют одно или два последовательных преобразования способом замены, например, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 илиΠ 1 Π 2 →Π 1 Π 4 →Π 5 Π 4 . Во втором случае преобразование называют композицией преобразований. При каждом шаге в данном способе заменяется только одна плоскость проекций, а другая остается общей для двух систем.

Рассмотрим механизм и особенности способа замены плоскостей проекций на примере преобразования комплексного чертежа точки (рис. 28).

При замене, например, фронтальной плоскости проекций Π 2 новой вертикальной плоскостьюΠ 4 горизонтальная плоскостьΠ 1 в данном случае является общей для двух систем плоскостей проекций, вследствие чего проекцияА 1 точкиА на эту плоскость является также общей для этих систем. При этом сохраняется неизменной величина расстояния (АА 1 ) от заданной точки до этой плоскости проекций и, как следствие, равенство ее проекций на плоскостиΠ 2 иΠ 4 , т. е.АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 , что позволяет выполнять на комплексном чертеже построение новой проекцииА 4 заданной точки (см рис. 28).

Еще одна особенность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что комплексный чертеж образуется совмещением плоскостей проекций с той плоскостью, которая является общей для двух систем. В рассматриваемом на рис. 28 примере такой плоскостью является горизонтальная плоскость проекций.

В качестве примера рассмотрим задачу преобразования прямой общего положения в проецирующую. Для достижения конечного результата необходимо провести замену двух плоскостей проекций, используя композицию преобразований, т. е. два последовательных преобразования (рис. 29).

Замена одной плоскости проекций, например, Π 2 наΠ 4 позволяет преобразовать прямую общего положения только в прямую уровня, так как невозможно сразу расположить новую вертикальную плоскость проекцийΠ 4 перпендикулярно заданной прямой. Далее, заменяя последовательно вторую плоскость проекцийΠ 1 наΠ 5 и располагая ее перпендикулярно прямойАВ , получаем конечный результат (см. рис. 29).

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.

Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5).

Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

ь объекту проецирования новые, частные по отношению к ним, положения.

Поверхности вращения

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.

Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.

Развертки поверхностей вращения

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

Приближенные развертки

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.

При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

Конус вращения

На виде сверху конус изображается кругом, являющимся одновременно горизонтальной проекцией основания конуса и его боковой поверхности (рис. 26). Центр круга – горизонтальная проекция вершины конуса. Главный вид и вид слева – равнобедренные треугольники.

Пусть в конусе имеется призматическое отверстие и точка А (А 2) лежит на линии пересечения конуса с отверстием.

Конус можно рассматривать как линейчатую поверхность, на которой точки могут быть построены с помощью прямолинейных образующих. Проекция А 1 точки А построена с помощью проекций l2 и l1 образующей l.

Все проекции сферы – окружности. Диаметр их равен диаметру сферы. На каждом изображении проводят центровые линии.

На рис. 27 представлен чертёж сферы, усечённой двумя плоскостями, и показано построение точки А (А 1, А 2, А 3) на поверхности сферы.

Рис. 26. Конус вращения

Рис. 27. Сфера

Если рассматривать конус как поверхность вращения, то для решения задачи на построение точки интересно объединить его со сферой и тором.

В разновидностях аксонометрических проекций отсутствуют перспективные искажения, вследствие чего изображение получается условным и простым. Форму предмета можно строить точно по размерам (если нужно) и изображать ее «не как вижу, а как надо» с пониманием объективной сущности предмета. В этом заключается особенность технического рисунка и простота его выполнения, позволяющие сравнительно быстро приобрести необходимые навыки.

Развертка поверхности цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов. Одну сторону прямоугольника берут равной высоте цилиндра, другую - длине окружности основания.

К прямоугольнику, пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Развертка поверхности конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса.

Построение выполняется следующим образом:
1. Проводят осевую линию и из точки S, взятой на ней, описывают радиусом, равным длине S<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. К полученной фигуре пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса. Центр круга должен лежать на осевой линии так, чтобы круг касался дуги развертки боковой поверхности.

Длину окружности при построении p;i шерток цилиндра и мщусм можно определить по формуле С nD или графически. Для графического построения делят окружность на несколько частей, а затем откладывают их на прямой (для цилиндра) или на дуге окружности (для конуса).

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Лекция 4

Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного положения фигур и метрические задачи (определение натуральных величин плоскостей, отрезков и т.д.). Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1. на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2. на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

Рассмотрим некоторые из них.

Сущность способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры неподвижны в заданной системе плоскостей проекций (П 1 , П 2 ). Последовательно вводятся новые плоскости проекций (П 4 , П 5 ), относительно которых геометрические фигуры займут частное положение. Новая плоскость проекций выбирается с таким расчетом, чтобы она была перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П 1 (или П 2 ), другая плоскость П 2 (или П 1 ) должна оставаться неизменной.
На рисунке 1 представлено наглядное изображение метода замены плоскостей проекций. Фронтальная плоскость П 2 заменяется на новую фронтальную плоскость П 4 . Новые проекции точки А (А 1 А 4 ), при этом, как видно из рисунка, высота точки А осталась прежней.

Необходимо запомнить правило построения новых проекций точек при методе замены:

1. линии связи всегда перпендикулярны новым осям проекций;
2. расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки всегда берется с той плоскости, которую заменяют.

Рисунок 1.Наглядное изображение метода замены плоскостей проекций.

Рисунок 2.Изображение метода замены плоскостей проекций на эпюре.

Большинство задач в начертательной геометрии решаются на базе четырех задач:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня;
2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую;
3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость;
4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня .

Задача №1

Рассмотрим решение задачи №1 . Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.3). Для этого вводим новую фронтальную плоскость проекций П 4 , ось Х 1,4 проводим параллельно А 1 В 1 АВ – А 4 В 4. В новой системе плоскостей проекций прямая АВ – фронталь.

Рисунок 3.

Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (фронталь)

Задача №2

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в проецирующую прямую (рис.4). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, то есть решить сначала задачу №1;
2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

Вычертить условие задачи №1, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 Х 4 , 5 перпендикулярно проекции А 4 В 4 и строим новую проекцию прямой А 5 В 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , прямая АВ является горизонтально проецирующей прямой.

На базе задач №1 и №2 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до прямой;

2. определение расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми;

3. определение натуральной величины прямой;

4. определение величины двугранного угла.

Рисунок 4.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.

Задача №3.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в проецирующую плоскость (рис.5). Для решения этой задачи необходимо в плоскости провести линию уровня, если такая отсутствует. Новую ось проекций проводим перпендикулярно лини уровня. В треугольнике АВС проводим горизонталь h. Ось проекций Х 14 проводим перпендикулярно h 1 , новую проекцию плоскости А 4 В 4 С 4 , строим по правилам, разобранным в предыдущих задачах.

В системе плоскостей проекций П 1 ,П 4, плоскость треугольника является фронтально-проецирующей плоскостью.

Рисунок 5.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.

Задача №4.

Рисунок 6.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Дана плоскость АВС – общего положения, преобразуем ее в плоскость уровня (рис.6). Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательно два преобразования:

1. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость, то есть решить сначала задачу №3;
2. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

Вычертить условие задачи №3, самостоятельно решить ее, затем приступить к выполнению второго преобразования. Вводим новую горизонтальную плоскость проекций П 5 , для этого проводим новую ось проекций Х 4 , 5 параллельно проекции А 4 В 4 С 4 и строим новую проекцию треугольника А 5 В 5 С 5. В системе плоскостей П 4 ,П 5 , треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня.

На базе задач №3 и №4 решаются следующие задачи:

1. определение расстояния от точки до плоскости;

2. определение расстояния между параллельными плоскостями;

3. определение натуральных (истинных) величин геометрических фигур;

определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

Метод плоскопараллельного перемещения

Все вышерассмотренные задачи можно решить используя метод плоско-параллельного перемещения, при котором плоскости проекций остаются на месте, а проекция фигуры перемещается (рис.7).

Рисунок 7. Определение натуральной величины отрезка методом плоско-параллельного перемещения.

Дана прямая АВ – общего положения, преобразуем ее в прямую уровня (рис.7). Для этого перемещаем проекцию А 1 В 1 параллельно оси Х . Строим новую проекцию прямой АВ – А 2 ` В 2 ` , которая будетявляться- натуральной величиной отрезка. Этот метод используется для определения натуральных величин ребер многогранников при построении развертки.

Метод вращения

Частным случаем плоско-параллельного перемещения является метод вращения вокруг проецирующих прямых и прямых уровня.

Сущность способа заключается в том, что на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение.

Рассмотрим применение этого способа к решению четырех основных задач на преобразование.

П е р в а я з а д а ч а: прямая общего
положения преобразуется в прямую уровня (рис. 5.1).

Чтобы преобразовать прямую AB общего положения в прямую уровня, необходимо ввести новую плоскость проекций параллельно АВ, т. е. на чертеже провести новую координатную ось параллельно А 1 В 1 или А 2 В 2 . В рассматриваемом случае координатная ось П 1 проведена параллельно А 1 В 1 , таким образом введена новая фронтальная плоскость проекций. Для построения проекции отрезка на этой плоскости нужно из А 1 и В 1 провести линии связи, перпендикулярные координатной осиП 1 /П 4 .

Так как высота прямой в пространстве не изменилась, то от оси П 1 /П 4 на соответствующих линиях связи откладываем высоту точек А и В, получаем А 4 и В 4 . Проекции прямой А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, параллельное новой фронтальной плос-
кости проекций. Проекция А 4 В 4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол между натуральной величиной прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1 . Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, тогда координатную ось П 2 /П 5 необходимо провести параллельно А 2 В 2 и на линиях связи от этой оси отложить А у и В у.

Угол между натуральной величиной и фронтальной проекцией и есть угол (β) наклона прямой АВ к П 2 .

Часто для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника, который является следствием из решения первой задачи на преобразование (рис. 5.2).

Натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого – сама проекция отрезка, другой катет по величине является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.

В т о р а я з а д а ч а: прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую (рис. 5.3).

Для решения этой задачи необходимо новую плоскость проекций провести перпендикулярно натуральной величине прямой А 1 В 1 . Проекции А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, перпендикулярное новой фронтальной плоскости проекций П 4 .

Т р е т ь я и ч е т в е р т а я з а д а ч и: плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.

Решение этих двух задач приведено на рис. 5.4. Пусть дана плоскость общего положения – задана треугольником АВС. Чтобы преобразовать ее в проецирующую, нужно ввести новую плоскость проекций перпендикулярно треугольнику АВС, но на комплексном чертеже это возможно в том случае, если провести плоскость проекций перпендикулярно линиям уровня или следам плоскости.

С этой целью проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь. Перпендикулярно h 1 проведем координатную ось (П 1 /П 2). Прямая уровня h преобразовалась в прямую проецирующую h(h 1 h 4). Из проекции вершин треугольника А 1 ,В 1 ,С 1 проведем линии связи и от (П 1 /П 4) отложим соответствующие координаты А 2 ,В 2 ,С 2 . Проекция треугольника А 4 ,В 4 ,С 4 представляет собой прямую линию.

Таким образом, плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую. Угол между проекцией треугольника А 4 В 4 С 4 и координатной осью является углом наклона плоскости к П 1 .